Wednesday, April 11, 2012

ఆర్యభట మహాశయుడు- 2 వ భాగం

నా స్వల్ప అనారోగ్యం కారణంగా కొద్దిరోజుల విరామం వచ్చింది.   అందుకు పాఠకులు మన్నించాలి.

ఆర్యభటగురించి లోగడ ప్రస్తావించుకున్నాం కొన్ని విషయాలు.  ఇప్పుడు మరికొన్ని తెలుసుకుందాం. ఇదంతా నేను వెబ్ నుండి సేకరించిన సమాచారమే.

ఒక వృత్తం యొక్క పరిధి దాని వ్యాసానికి π రెట్లుగా ఉంటుందని అందరికీ నేడు తెలిసినదే. ఆర్యభట π విలువను గురించి ఇలా చెప్పాడు.

        చతురధికమ్ శతమష్టగుణమ్ ద్వాషష్టి స్తథా సహస్రాణామ్
        ఆయుత ద్వయ విష్కంభస్యాసన్నోవృత్తపరిణాహః

వందకు నాలుగు కలిపి యెనిమిది చేత గుణించి 62000 కలపండి. ఇది 20000 వ్యాసంగా కల వృత్తం యొక్క పరిధికి  చాలా చేరువగా ఉంటుంది.

అంటే ((4 + 100) × 8 + 62000)/20000 =  62832/20000 = 3.1416
ఈ విలువ నాలుగు దశాంశ స్థానాల వరకు π విలువను తెలియ జేస్తోంది.

ముఖ్యంగా గమనించవలసిన విషయం యేమిటంటే 'ఆసన్న' అనే పదం వాడటం ద్వారా π విలువ యెన్నో కొన్ని స్థానాలకు తెగేది కాదని ఆనాడే ఆర్యభట్టు గ్రహించి చెప్పటం.  పాశ్చాత్యులకైతే ఇది 1761 లో లాంబర్టు చెప్పాక గాని తెలియరాలేదు.

త్రికోణం యొక్క వైశాల్యం గురించి ఆర్యభట, "త్రిభుజస్య ఫలశరీరం సమదళకోటిభుజార్థసంవర్గః" అని సూత్రీకరించాడు. అంటే ఒక భుజంలో సగమూ, దానిమీదికి లంబంయొక్క గుణఫలమే త్రికోణ వైశాల్యం అని.

అలాగే త్రికోణమితిలోని sine అనే అవగాహనకు ఆర్యభటయే ఆద్యుడు. దీనిని ఆయన అర్థజ్యా అని పిలిచాడు. అయితే ఆమాట క్రమంగా జ్యా అని స్థిరపడింది. తరువాతి కాలంలో అరేబియాదేశీయులు సంస్కృతగ్రంథాలు అనువాదం చేసుకున్నప్పుడు దీనిని 'జీబా' అని వ్రాసారు. అయితే ఆ అరబిక్ భాషలో అచ్చులు వదిలి పెట్టటం ఒక సంప్రదాయంట. పైగా జీబా అన్నమాటకు ఆ భాషలో యేమీ అర్థం లేదు. దానిని వాళ్ళు క్రమంగా జైబ్ అని మార్చారు. అంటే గుడ్డమడత అని అర్థం - చొక్కా జేబు లాగా. 12వ శతాబ్దిలో ఈ అరబిక్ పుస్తకాలను ఘెరార్డో క్రిమోనా లాటిన్ భాషలోనికి మార్చినప్పుడు జైబ్ ను సమానార్థకంగా సైనస్ అని వ్యవహరించాడు. ఈ మాట దరిమిలా ఇంగ్లీషులోకి వచ్చాక సైన్ అయింది!

వివిధకోణాలకు సైన్ విలువల పట్టికను ఆర్యభట ఇచ్చాడు. sine(30) = 719/3438 = 0.5  అని ఖచ్చితంగానే యిచ్చాడు!

Tuesday, April 3, 2012

మాటలతో సంఖ్యలను తెలపటానికి మరొక మంచి ప్రాచీనభారతీయ విధానం

మనం ముందు టపాలో కటపయాది సూత్రం గురించి తెలుసుకున్నాం.
ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంఖ్యలను మాటలుగా మార్చి లిఖించి గుర్తు పెట్టుకుందుకు సులభంగా చేసే వారని తెలుసుకున్నాం.
ఇలా కటపయాది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పదాలుగా మార్చటం వలన మరొక సౌకర్యం కూడా ఉంది.
జ్యోతిశ్శాస్త్రంలో గణితసంబంధమైన విషయాలు ప్రస్తావించవలసి వచ్చినప్పుడు యీ కటపయాది సూత్రం చాలా బాగా ఉపకరిస్తుంది.
ఒక శ్లోకంలో  'మాతలి' అనే మాటతో ఒక సంఖ్యను సూచించారనుకోండి. ఈ సూత్రం ద్వారా అది 365   అని తెలుసుకుంటాం.   అయితే 365  అనటానికి గ్రంధకర్తగారు  వేరే మాటా  మాశుగ  అని అర్థంలేని మాటా వాడవచ్చు దాని బదులు.  యేది వాడాలన్నది ఆయన యిష్టం!  

అయితే, కటపయాది సూత్రం ఒకటే కాక మరొక అందమైన పధ్దతి కూడా మన వాళ్ళు కనుగొని వాడారు.

ఏ మాటలు యే సంఖ్యలతో ముడిపడి ప్రసిద్ధి కెక్కాయో ఆ మాటలను ఆ సంఖ్య లేదా అంకె కొరకు వాడటం కూడా చాలా విరివిగా చేసారు.
ఉదాహరణకు 'బాణ' అనే మాటతో 5 అంకెను సూచిస్తారు. ఎందుకంటే మన్మధుడు పంచబాణుడని జగత్ప్రసిధ్ధి గదా.
అలాగే 'మను' అన్నమాటతో 14 అనే సంఖ్య సూచించటం పరిపాటి.  మనువులు 14 మంది అని తెలుసును కదా.

ఇలా యేయే మాటలతో యేమేమి అంకెలూ,  సంఖ్యలూ  సూచిస్తారో ఒక చిన్న పట్టీ యిస్తున్నాను చూడండి.

సున్న     ఆకాశం పూర్ణం, రంధ్రం, అనంతం
ఒకటి     భూమి. చంద్రుడు
రెండు     అశ్వినీదేవతలు, కర్ణాలు, కవలలు వగైరా రెండిటిని తెలిపేవి.
మూడు    అగ్నులు (ఇవి మూడని ప్రతీతి), గుణాలు,  త్రినేత్ర,  పుర (త్రిపురాలు అని గదా) వగైరా
నాలుగు    వేద, ఆశ్రమ, యుగ, సాగర, కేంద్ర వగైరా నాలుగింటిని తెలిపే మాటలు
అయిదు    ప్రాణ, పాండవ,  భూతాలను తెలిపే మాటలు వగైరా.
ఆరు      అరి, ఋతు, శాస్త్ర, దర్శన వగైరా ఆరింటిని తెలిపే మాటలు
యేడు     ఋషి, ధాతు, వ్యసన,  స్వర, గిరి వగైరా యేడింటిని తెలిపే మాటలు
యెనిమిది   వసువులు, దిగ్గజాలు, దిక్పాలకులు, మంగళాలు, సిధ్ధులు వగైరాలను తెలిపే మాటలు
తొమ్మిది    నిధులు, నందులు, గ్రహాలు వగైరాలను తెలిపే మాటలు
పది       దిశలు,  అంగుళులు (వ్రేళ్ళు), అవతారాలు, కర్మలు వగైరాలను తెలిపే మాటలు
పదకొండు   రుద్రుడు వగైరా శివ నామాలు
పన్నెండు    ఆదిత్యాది సూర్యనామాలు,
పదమూడు   విశ్వేదేవులు
పదునాలుగు  మనువులు
పదిహేను    తిథి, పక్ష వగైరా పదిహేనును తెలిపే మాటలు
పదహారు    కళలు, రాజును తెలిపే మాటలు
పధ్దెనిమిది    ధృతి
పందొమ్మిది   అతిధృతి
ఇరవై       నఖముల(గోళ్ళ)ను తెలిపే మాటలు

ఇలా యే సంఖ్య లేదా అంకె కావాలో దానికి తగిన పదాన్ని యెన్నుకుని వాడటమే. పెద్దపెద్ద సంఖ్యలను చెప్పటానికి ఒకటి కంటె హెచ్చు పదాలను సమాసంచేసి వాడతారు.  దానికేమీ అర్థం ఉండదు - ఇష్ట సంఖ్యను చెప్పటం తప్ప.
ఉదాహరణకు వరాహమిహిరుడు ఒక చోట 'ఏకర్తుమను' అన్న మాట వాడతాడొక శ్లోకంలో .  అంటే ఏక - ఋతు - మను అన్నమాట
అనగా  1 - 6 - 14 .  అంకానాం వామతో గతిః కదా. కాబట్టి  ఏకర్తుమను అంటే 1461 అన్నమాట.


జ్యోతిశ్శాస్త్రం అయినా, వ్యాకరణశాస్త్రం అయినా మరేదో శాస్త్రం అయినా మనవాళ్ళు తమతమ గ్రంధాల్లో శ్లోకాల్లోనే విషయాన్ని చెప్పేవారు కదా.  శ్లోకాల్లో సంఖ్యలను ఇరికించాలంటే కటపయాది సూత్రమూ, యీ సంఖ్యా వాచకాల వాడకమూ  భలే ఉపయోగిస్తాయి.

వివరణాత్మక విషయాలు గద్యంలో ఉన్నా, ప్రధానమయిన ఉటంకింపులు శ్లోకాల్లోనే చెప్పటం గొప్ప రివాజు. దీని వలన రెండు లాభాలున్నాయి.


ఒకటి, శ్లోకాలను కంఠగతంగా చేసుకొని గుర్తు పెట్టుకోవటం అనేది వచనాలను గుర్తు పెట్టుకోవటం కన్నా బాగా సులువు.  శ్లోకాలలోని సౌష్ఠవపూరిత నిర్మాణం,  చక్కటి ధార, వాటి అందమైన నడకల కారణంగా సులువుగా గుర్తుంటాయవి.   


రెండవది,  పూర్వకాలంలో కావ్య పఠనం సాధారణంగా అందరూ చేసేదే.  కావ్యానికి గల ఆదరాన్ని సాధించకుండా యెంత గొప్ప విషయం గల గ్రంధమైనా ఆమోదం పొందటం కష్టంగా ఉంటుంది.   పైగా యేశాస్త్రకారుడైనప్పటికీ స్వయంగా భాషాధ్యయనం చేసినవాడూ, కాస్తో కూస్తో మంచి కవిత్వం చెప్పగలవాడూ అయి ఉండటం సహజం. కాబట్టి తమ శాస్త్రవిషయాన్ని వీలయినంత అందమైన కవిత్వంగా చెప్పటం కూడా అవసరమే.  ఇది కూడా గ్రంధానికి ప్రసిధ్ధి తేగలదు.  అలాగని అన్ని శాస్త్రగ్రంధాలూ మంచి కవిత్వం చెప్పలేదనుకోండి.  అది వేరే విషయం.

Monday, April 2, 2012

శ్రీనివాస రామానుజంకు జ్యోతిష్యంపై గాఢ విశ్వాసం ఉండేదట.

గణితలోక సూర్యుడు, భారత దేశపు కీర్తిని ఆచంద్రతారార్కం చేసిన మేధావి శ్రీనివాస అయ్యంగార్ రామానుజం పవిత్రస్మృతికి అంకితమిస్తూ ఈ 2012వ సంవత్సరాన్ని భారతప్రభుత్వం  జాతీయ గణితశాస్త్ర సంవత్సరంగా ప్రకటించింది.  అంతేకాదు, ప్రతి సంవత్సరమూ డిసెంబరు 22వ తారీఖును  జాతీయ గణితశాస్త్రదినం(National Mathematics Day)గా ప్రకటించింది. తమిళనాడు రాష్ట్రప్రభుత్వం ప్రతి సంవత్సరమూ డిసెంబరు 22వ తారీఖును  రాష్ట్ర IT దినంగా ఇప్పటికే ప్రకటించింది.

రామానుజం మేధస్సుగురించీ ఆయనకు రాబోయే మహత్కీర్తిగురించీ  జోస్యురాలైన ఆయన grand mother ముందే చెప్పినట్లు తెలుస్తున్నది. 

రామానుజంకు తన తల్లిగారి ప్రోత్సాహంతో జ్యోతిషం మీదా హస్తసాముద్రికం మీదా ఆసక్తి కలిగినట్లు తెలుస్తోంది.   ఆయన మరొక ప్రఖ్యాత శాస్త్రజ్ఞుడు న్యూటన్ లాగే ఈ జ్యోతిషవిద్య పట్ల మంచి ఆరాధనాభావంతో ఉండే వాదని తెలుస్తున్నది.   ఆయన తన లండన్ ప్రయాణానికి మంచి ముహూర్తం చూసుకొని మరీ వెళ్ళాడట.

రామానుజం స్వయంగా జాతకాలు చెప్పేవారట. ఒకసారి రామానుజం ఒక జబ్బుగా ఉన్న వ్యక్తి జాతకం చూసి ఆతని ఇంటికి పోయి, అతడిని యిల్లువదలి బయటకు రమ్మన్నాడట.  ఆ వ్యక్తికి మరణం ఒకానొక  సమయంలో అదే ఇంట్లో సూచించబడి ఉందని రామానుజం గ్రహించి ఇట్లా చేసాడట.  ఆ తరువాత ఆ వ్యక్తి మృత్యుగండం  నుండి తప్పించుకున్నాడని తెలుస్తున్నది.   ఇదీ,  ఇలాంటిదో మరొక సంఘటనా "The man who knew infinity" అనే పుస్తకంలో వర్ణించబడ్డాయి.

రామానుజం ఆరోగ్యం చెడినప్పుడు ఆయన తల్లి కోమలం (కోమలత్తమ్మాళ్) గారు ఒక జ్యోతిష్కుడి దగ్గరకు ఆయన జాతకం తీసుకొని వెళ్ళి ,  ఆ జాతకం ఎవరిదో చెప్పకుండా చూపించారట. ఆ జ్యోతిష్కుడు, ఈ జాతకుడు అల్పాయుష్కుడైన మహాకీర్తిశాలిగాని,  దీర్ఘాయుష్కుడైన అతిసామాన్యుడు కాని అయి ఉండాలనీ అని చెప్పి, పిదప అది రామానుజం జాతకం అని తెలిసి చాలా ఖిన్నుడయ్యాడట.

మనవాళ్ళు చాలామంది తమకు తెలిసిన అరకొర పరిజ్ఞానంతోనే,   కొందరైతే - అసలామాత్రం  పరిజ్ఞానం  కూడా లేకుండానే ,  జ్యోతిషం ఒక మూఢనమ్మకమనీ అశాస్త్రీయమనీ గొంతులు చించుకుంటున్నారు.  సరే,  జ్యోతిషం ఒక శాస్త్రమని ప్రగాఢవిశ్వాసం కలవాళ్ళలో కూడా చాలా మందికి గల పరిజ్ఞానం అసమగ్రమే ననుకోండి  - అందు చేత వాళ్ళలో కూడా చాలామంది ప్రతిపక్షం మీద అసహనంతో వాదిస్తున్నారు.   అదంతా అనవసరం.  శ్రీ C.V. రామన్ గారు గ్రహణస్నానాలు చేసేవారు  అని విన్నాను.  ఒకరి విశ్వాసం మరొకరికి నచ్చనంత మాత్రాన దూషణాపర్వానికి పూనుకోకూడదు కదా.  రామానుజానికి జ్యోతిషం పట్ల ప్రగాఢ విశ్వాసం అనురక్తి ఉన్నంతమాత్రాన ఆయన మేధావి కాకపోడు.  అది ఆయన వ్యక్తిగత విశ్వాసానికి, యిష్టాయిష్టాలకు సంబంధించిన విషయం.  మేధావులమనుకునే వారు,  హేతువాదులమని చెప్పుకునే వారూ,  రామానుజం ఒక మూర్ఖుడని  హేళన చేయబోతే, అది వారికే మంచిది కాదు.  ఆకాశంపైన ఉమ్మి వేస్తే యేమి జరుగుతుందో తెలిసిందే కదా! 

అక్షరాలతో సంఖ్యలు వ్రాయటానికి భారతీయుల యుక్తి కటపయాది సూత్రం

ఒకటి రెండు అంకెలు గల సంఖ్యలను సులభంగానే గుర్తు పెట్టుకో వచ్చును. 
కాని పెద్ద పెద్ద సంఖ్యలను గుర్తు పెట్టుకుందుకు కష్టంగానే ఉంటుందికదా.
అయితే దీనికి ప్రాచీనకాలంలోనే భారతీయులు ఒక మంచి విధానం కనిపెట్టారు.
అదే కటపయాది సూత్రం
    కాది నవ టాది నవ పాది పంచ యాద్యష్టౌ

అనేదే యీ కటపయాది సూత్రం.    ఈ సులభసూత్రం వలన యెంతప్రయోజనమో!
భారతీయ  గణిత జ్యోతిషాలలోనూ, సంగీతశాస్త్రంలోనూ కూడా దీనిని చక్కగా వినియోగించుకున్నారు.
ఈ సూత్రం ఆధారంగా  చిన్నా పెద్దా సంఖ్యలను సులభంగా గుర్తుపెట్టుకుందుకు వీలయిన మాటలుగా మార్చుకుందుకు దారి చేసుకున్నారు.

ఇక ఈ సూత్రం యొక్క తాత్పర్యం యేమిటంటే,
      'క' మొదలుగా  (క,ఖ,గ,ఘ,  ఙ, చ, ఛ, జ, ఝ  అనే)  తొమ్మిది అక్షరాలూ,
      'ట' మొదలుగా (ట,ఠ,డ,ఢ,ణ,త,థ,ద,ధ అనే )తొమ్మిది అక్షరాలూ,
      'ప' మొదలుగా (ప,ఫ,బ,భ,మ అనే) ఐదు అక్షరాలూ,
      'య' మొదలుగా (య,ర,ల,వ,శ,ష,స,హ అనే)  యెనిమిది అక్షరాలూ,
1 నుండి 9 వరకూ గల అంకెలను తెలుపుతాయి అని.   ఇక ఞ, న అనేవి 0 (సున్న) ను తెలుపు తాయి.

దీని ప్రకారం ఒక అక్షరం యెప్పుడూ ఒక అంకెనే తెలుపుతుంది.  కాని ఒక అంకెను తెలుపటానికి ఒకటి కంటే హెచ్చు అక్షరాలుంటాయి సాధారణంగా.

అన్నట్లు గుణింతాలతో పని లేదు. కా అన్నా కీ అన్నా అంకె 1 అలాగే బ అన్నా బే అన్నా అంకె 3.   అంటే అచ్చుల కేమీ విలువలేదన్న మాట యీ సూత్రంలో.

ఉదాహరణకు
    క అనే అక్షరం  1  ని తెలుపుతుంది.
    కాని  1 ని తెలుపటానికి క, ట,ప,య అనే అక్షరాలలో దేనినైనా అవసరమైన దానిని వాడవచ్చును.

ఈ కటపయాది సూత్రానికి మరొక అనుబంధసూత్రం ఉన్నది. అది
    అంకానాం వామతో గతిః

అంటే,  ఒక సంఖ్యలోని అంకెలు కుడినుండి యెడమవైపుకు చెప్పబడతాయి అని అర్ధం.

ఇప్పుడు కటపయాది సూత్రం యెలా వాడుతారో చూద్దాం.

'ధీర' అనే మాట తీసుకోండి.   దీనితో మనం ఒక సంఖ్యను చెబుతున్నామనుకుందాం.  ఆ సంఖ్య విలువ యెంత అవుతుందో చూద్దాం.

ధీ --> 9
ర  --> 2
ధీర -->  92

కాని 'అంకానాం వామతో గతిః' అని సూత్రం చెప్పుకున్నాం కదా.  దాని ప్రకారం,  ధీ అనేది ఒకట్ల స్థానం. అక్కడి నుండి యెడమ వైపుగా చెప్పాలి సంఖ్యను.  కాబట్టి    ధీర  యొక్క విలువ 29 అవుతుంది.

అన్నట్లు వేంకటమఖి అనే ఆయన సంగీతంలో రాగాలను ఒక క్రమంలో యేర్పాటు చేసాడు.  వాటినే మేళ కర్తరాగాలు అంటాము. ఇవి మొత్తం 72.   వీటిలో 29వ మేళకర్త రాగం శంకరాభరణం.   అయితే రాగాల పేర్లు అప్పటికే ప్రచారంలో ఉన్నాయి కాబట్టి, వాటికి వేరే పేర్లు పెట్టాలాంటే కష్టం - గందరగోళం  యేర్పడుతుంది.  అందు చేత వేంకటమఖి యేమి చేసాడంటే, రాగాల పేర్లముందు ఉపనామాలు చేర్చాడు.  అలా శంకరాభరణం అనే పేరును  ధీరశంకరాభరణం అని మార్చాడాయన.  ఈ విధంగా చాలా రాగాలపేర్లు కొద్దిగా మారాయి. కల్యాణి అల్లా మేచకల్యాణి అయింది.  అదంతా అలా ఉండగా అందరూ యెప్పటిలాగే శంకరాభరణం, కల్యాణి అనే అంటున్నారనుకోండి, అది వేరే సంగతి.